7.2 Herramientas de Análisis

7.2.1 Autocorrelación (acf y pacf)

Los correlogramas permiten representar las funciones de autocorrelación simple (fas) y parcial (fap).


El coeficiente de correlación simple (y así la fas) refleja la correlación entre la variable \(Y\) y el valor retardado de la misma en \(k\) instantes anteriores (lags).


El **coeficiente de correlación parcial (y así la fap) calcula la correlación directa eliminando posibles dependencias asociadas a retardos intermedios.


Los correlogramas permiten representar las acf y pacf que solo tienen sentido dentro del ámbito de los procesos estacionarios porque asumen que la correlación entre dos valores de la serie sólo depende de su distancia, no del instante del tiempo al que van referidos.

7.2.2 Operadores (del Tiempo)

Operador de Retardo Simple

El operador de retardo simple se define como \[Bz_t=z_{t-1}\]

Si aplicamos el operador de retardo dos veces: \[BBz_t=Bz_{t-1}=z_{t-2}\] Del mismo modo, si aplicamos \(n\) veces el operador de retardo, obtenemos: \[ BB \ldots Bz_t=z_{t-n} \] Definimos, por tanto \[ B^n z_t=z_{t-n} \]

Operador de Adelanto simple

De modo análogo, definimos el operador de adelanto simple \[ \begin{align} Fz_t&=z_{t+1}\\ F^n z_t&=z_{t+n} \end{align} \]

El operador \(F\) es el inverso del operador \(B\) ya que: \[ FBz_t=BFz_t=z_t \] Por tanto, \(BF=FB=1,\) lo que implica que \(F=B^{-1}\).

Polinomios en \(B\)

Sea el polinomio en el operador de retardo \(B\): \[ \phi_0 - \phi_1 B - \ldots - \phi_pB^p \] La operación de este polinomio se define como: \[ (\phi_0 - \phi_1 B - \ldots - \phi_pB^p)z_t=\phi_0z_t+\phi_1z_{t-1}+\ldots+\phi_pz_{t-p} \] Llamamos polinomio autorregresivo de orden \(p\) al polinomio de grado \(p\) \[ 1-\phi_1B-\dots-\phi_pB^p \] La razón de esta nomenclatura es que si tenemos una serie cuyo comportamiento puede expresarse como \[ (1-\phi_1B-\dots-\phi_pB^p)z_t=e_t \] donde \(e_t\) es un término de error, la anterior expresión puede escribirse como: \[ z_t=\phi_1 z_{t-1}+ \ldots + \phi_p z_{t-p} + e_t \]

Es decir, como una regresión donde la serie \(z_t\) es el output y los propios retardos \(1,2,\ldots,p\) de la variable actúan como inputs o regresores construyendo una autorregresión.

En muchas ocasiones emplearemos las formas \(\phi(B), \psi(B), \varphi(B)\) u otras semejantes para denotar polinomios en \(B\). Notaremos más adelante que asociaremos ciertas formas de expresar polinomios en \(B\) como \(\phi(B)\) a clases de polinomios en \(B\) que juegan cierto papel especial. Por ejemplo, reservaremos la expresi?n \(\phi(B)\) a polinomios autorregresivos.

Operador Diferencia

El operador diferencia respecto al pasado, en lo sucesivo simplemente operador diferencia, se define como: \[ \bigtriangledown z_t = z_t - z_{t-1}, \] que puede expresarse como: \[ \bigtriangledown z_t = z_t - z_{t-1}, \] que puede expresarse como \[ (1-B)z_t=\bigtriangledown z_t. \] Por lo tanto: \(\bigtriangledown =1-B\). El operador de , usualmente diferencia estacional, se define como \[ \bigtriangledown_s z_t=z_t-z_{t-s}=(1-B^s)z_t. \] Luego, \(\bigtriangledown_s=(1-B^s).\)

Debe observarse que cuando aplicamos el operador \(B\) a una serie \(S\) lo que hacemos en realidad es adelantar la serie un periodo. Análogamente, cuando aplicamos el operador \(F\) a una serie \(S\) retrasamos la serie un periodo.