7.3 Alisado Exponencial

El alisado exponencial es una técnica aplicada a series de tiempo, para suavizarlas u obtener previsiones.

• Mientras que, con la media móvil, las observaciones pasadas se ponderan por igual, en el alisado exponencial se asignan ponderaciones exponencialmente decrecientes en el tiempo.

• La fórmula utilizada es:

  \[ y_1 = x_0 \] \[ y_t = (1-\theta)x_{t-1}+\theta y_{t-1}, t > 1 \]

donde \(\{x_t\}\) son las observaciones reales, \(\{y_t\}\) son las estimaciones y \(\theta\) es el factor de alisamiento, \(0 < \theta < 1\).

En otras palabras, con este método, la previsión para el periodo \(t\) (valor esperado) como la suma ponderada de todas la observaciones anteriores, dando mayor importancia a las observaciones más recientes que a las más antiguas. Como puede verse en:

\[ y_t = (1-\theta) x_{t-1} +\theta y_{t-1} \] \[ y_t = (1-\theta)x_{t-1}+(1-\theta)\theta x_{t-2}+(1-\theta) \theta^2 y_{t-2} \] \[ y_t = (1-\theta)[x_{t-1}+\theta x_{t-2}+\theta x_{t-3}+\theta x_{t-4}+ ...] + \theta^{t-1} x_0 \] Así, los pesos asignados a las observaciones previas pertenecen a una proporción de la progresión geométrica: \(\{1, \theta, \theta^2, \theta^3, ..\}\).

• Por otro lado, si la ecuación arriba se expresa como:

\[ y_t = x_{t-1} + \theta(y_{t-1} - x_{t-1}) , \]

Se aprecia que \(y_t\) está formada por la suma de la observación en el periodo anterior (\(x_{t-1}\)) más una proporción (\(\theta\)) del error cometido (\(y_{t-1} - x_{t-1}\)). Por lo tanto el valor de \(\theta\) controla la rapidez con que la previsión se adapta a los cambios del nivel de la serie (estado).

• Si \(\theta\) es grande (próximo a 1), la previsión se adapta rápidamente a los cambios, por lo tanto se debe utilizar en series poco estables.
• Si \(\theta\) es pequeño (próximo a 0), se consigue eliminar el efecto de las fluctuaciones, por lo tanto se debe utilizar en series estables.
• El valor de \(\theta\) se puede optimizar minimizando la suma de cuadrados del error de previsión, es decir, resolviendo: \(min(x_{t-1} - y_{t-1})^2\).
• El alisado exponencial, técnicamente, es equivalente a un modelo ARIMA (0,1,1) sin constante. En otras palabras, se puede representar por:

\[\hat{y} = (1-\theta)(1 + \theta B + \theta^2 B^2 + \theta^3 B^3 + ...)x_{t-1}\]

donde \(B\) es el operador retardo y \(\theta\) es el parámetro de amortiguamiento. Esta representación no implica recargar el último término con un peso mayor a los valores más recientes.

Si existe un número finito de periodos observados, la ecuación anterior se reescribe como:

\[ \hat{y} = \alpha (1 + \theta B + \theta^2 B^2 + ... + \theta^p B^p)x_{t-1}\] donde \(p\) es el número de periodos disponibles y $<1 $ es un término que asegura que los coeficientes de la ecuación sumen la unidad. Eso permite que el peso relativo de cada uno de los datos del pasado se mantenga constante y, al mismo tiempo, el resultado siga siendo una media.

• En la tabla abajo se muestran los pesos que toman los términos, en el caso de contar con 6.

	I	II	III	IV	V
\(\theta\)	0.70	0.65	0.60	0.55	0.50
\((1- \theta)\)	0.30	0.35	0.40	0.45	0.50
\((1- \theta)\theta\)	0.21	0.23	0.24	0.25	0.25
\((1- \theta)\theta^2\)	0.15	0.15	0.14	0.14	0.13
\((1- \theta)\theta^3\)	0.10	0.10	0.09	0.07	0.06
\((1- \theta)\theta^4\)	0.07	0.06	0.05	0.04	0.03
\((1- \theta)\theta^5\)	0.05	0.04	0.03	0.02	0.02